古人是如何做除法的？

传世文献中也偶有“投”用作“置放”之义的例子。承郭永秉先生指示，《老子·德经》中“兕无所投其角，虎无所措其爪”，“投”与“措（措置义）”对文，也可能是“置放”的意思。             

《算数书》这个“投”字，既可训“取”，又可训“置”，但“取”和“置”独立使用时是两个相反的动作，并非同义词，只有摆设物品，从一边取来，到另一边放下，“取”和“置”对应着移动中的同一物体，才能表达同一过程。摆放算筹，这边放下多少枚，等于从那边取来多少枚，所以既可说“取筹”若干，又可说“置筹”若干，如换用一个能概括整个过程而包容“取”“置”二义的词，应该是“设”。             

秦汉时“设”和“置”词义极近，毋须详辩；“设”与“取”也词义相近。如《管子》卷十三“心术上”：“感而后应，非所设也；缘理而动，非所取也。”又如《韩非子》卷十九“显学”：“宋荣子之议，设不斗争，取不随仇。”“设”与“取”均相对为言。     

张家山出土《算数书》之《少广》，右数第9行起，据《张家山汉墓竹简（二四七号墓）》，文物出版社，2001年  

对《九章算术》中的“置”，魏晋时人刘辉曾用“设”来注释，其《少广》“以三乘所得数置中行”，刘辉注为“设三廉之定长”。“置”是具体操作，“设”是操作的全程。唐宋以还，数学书中“设”字渐多，如唐李淳风注《九章算术》，所用一些“设”即为“置”义；又如宋杨辉撰《详解九章算法》，将《九章算术·少广》中的“置全步及分母子”直接引述为“设诸分母子”。这种用法一直沿用到今天，现在解数学题也要先“设”条件。             

通此一义，“投少广之术”即“设少广之术”；“所投分”即“所设分”。下面以通用字对《算数书·少广》录文，重新标点，对文义略加疏通，其中为厘清逻辑关系，使用了一个括号。             

少广             

投少广之术。曰先置广。即曰下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干……积分（以尽所投分同之）以为法。即藉置田二百四十步,亦以一为若干,以为积步,除积步,如法得纵一步。不盈步者,以法命其分。             

“投少广之术”，设立少广术算式。             

“曰”和下文“即曰”、“即”表示算式内容，也提示三个运算步骤。             

“先置广”，首先设置“广”即田地的横边。             

“下有若干步，以一为若干,以半为若干，以三分为若干，积分（以尽所投分同之）以为法”，算式下方此时摆出“广”的数值“若干步”，步数包含整数和分数。将一步设定为若干分，半步设定为若干分，三分之一步设定为若干分……以此类推。把“分”累积起来（算法是将所有设定的“分”加起来），作为除数（法）。             

已知矩形面积和一条边长，求另一条边长，在使用小数的情况下，是简单的除法题。但中国古代没有小数概念，非整数都用分数表示，难做除法，于是发展出 “少广术”专门解决此类问题。其术是把除数中的分数化为整数，以便相除，从现代数学看，是求出最小公倍数，与各分数相乘，直接将所有分母约掉，再将通分后的分子加起来。《九章算术》中设有公式:“置全步及分母子,以最下分母乘诸分子及全步,各以其母除其子,置之于左，命通分者。又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之,并之为法。”看上去很是复杂。《算数书》是简单算法，没有给出求公倍数和通分的公式，而是在算题集中给出预先算好的数值，即当“广”分别包含1-9个相加的分数时，对“一步”、“半步”直到“九分之一步”均设定相应的“分”，供解题者使用。所以术文在求“积分”时，不用通分，直接以对应的数值即“所投分”相加即可。             

在以前的研究中，对“下有若干步”，纪志刚认为即指“最下分数的分母”，实则不然。“若干”后面带有单位“步”，是步的数量，而非其中一个分数的分母。这就像一群人站队，个子高的站在最后，我们不能将“外面有若干人”说成“外面站着大个子”。再说这一步骤是求积分的，如果只有一个数，就不劳“以尽所投分同之”了。

作者：艾俊川
编辑：刘迪
责任编辑：任思蕴

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