古人是如何做除法的?

2019-09-20信息快讯网

传世文献中也偶有“投”用作“置放”之义的例子。承郭永秉先生指示,《老子·德经》中“兕无所投其角,虎无所措其爪”,“投”与“措(措置义)”对文,也可能是“置放”的意思。             

《算数书》这个“投”字,既可训“取”,又可训“置”,但“取”和“置”独立使用时是两个相反的动作,并非同义词,只有摆设物品,从一边取来,到另一边放下,“取”和“置”对应着移动中的同一物体,才能表达同一过程。摆放算筹,这边放下多少枚,等于从那边取来多少枚,所以既可说“取筹”若干,又可说“置筹”若干,如换用一个能概括整个过程而包容“取”“置”二义的词,应该是“设”。             

秦汉时“设”和“置”词义极近,毋须详辩;“设”与“取”也词义相近。如《管子》卷十三“心术上”:“感而后应,非所设也;缘理而动,非所取也。”又如《韩非子》卷十九“显学”:“宋荣子之议,设不斗争,取不随仇。”“设”与“取”均相对为言。     

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张家山出土《算数书》之《少广》,右数第9行起,据《张家山汉墓竹简(二四七号墓)》,文物出版社,2001年  


对《九章算术》中的“置”,魏晋时人刘辉曾用“设”来注释,其《少广》“以三乘所得数置中行”,刘辉注为“设三廉之定长”。“置”是具体操作,“设”是操作的全程。唐宋以还,数学书中“设”字渐多,如唐李淳风注《九章算术》,所用一些“设”即为“置”义;又如宋杨辉撰《详解九章算法》,将《九章算术·少广》中的“置全步及分母子”直接引述为“设诸分母子”。这种用法一直沿用到今天,现在解数学题也要先“设”条件。             

通此一义,“投少广之术”即“设少广之术”;“所投分”即“所设分”。下面以通用字对《算数书·少广》录文,重新标点,对文义略加疏通,其中为厘清逻辑关系,使用了一个括号。             

少广             

投少广之术。曰先置广。即曰下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干……积分(以尽所投分同之)以为法。即藉置田二百四十步,亦以一为若干,以为积步,除积步,如法得纵一步。不盈步者,以法命其分。             

“投少广之术”,设立少广术算式。             

“曰”和下文“即曰”、“即”表示算式内容,也提示三个运算步骤。             

“先置广”,首先设置“广”即田地的横边。             

“下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干,积分(以尽所投分同之)以为法”,算式下方此时摆出“广”的数值“若干步”,步数包含整数和分数。将一步设定为若干分,半步设定为若干分,三分之一步设定为若干分……以此类推。把“分”累积起来(算法是将所有设定的“分”加起来),作为除数(法)。             

已知矩形面积和一条边长,求另一条边长,在使用小数的情况下,是简单的除法题。但中国古代没有小数概念,非整数都用分数表示,难做除法,于是发展出 “少广术”专门解决此类问题。其术是把除数中的分数化为整数,以便相除,从现代数学看,是求出最小公倍数,与各分数相乘,直接将所有分母约掉,再将通分后的分子加起来。《九章算术》中设有公式:“置全步及分母子,以最下分母乘诸分子及全步,各以其母除其子,置之于左,命通分者。又以分母遍乘诸分子及已通者,皆通而同之,并之为法。”看上去很是复杂。《算数书》是简单算法,没有给出求公倍数和通分的公式,而是在算题集中给出预先算好的数值,即当“广”分别包含1-9个相加的分数时,对“一步”、“半步”直到“九分之一步”均设定相应的“分”,供解题者使用。所以术文在求“积分”时,不用通分,直接以对应的数值即“所投分”相加即可。             

在以前的研究中,对“下有若干步”,纪志刚认为即指“最下分数的分母”,实则不然。“若干”后面带有单位“步”,是步的数量,而非其中一个分数的分母。这就像一群人站队,个子高的站在最后,我们不能将“外面有若干人”说成“外面站着大个子”。再说这一步骤是求积分的,如果只有一个数,就不劳“以尽所投分同之”了。



作者:艾俊川
编辑:刘迪
责任编辑:任思蕴


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