出土算数书中的“投”与“设”，究竟是啥关系？

对 “积分”，彭浩认为是“若干个分数通分相加后所得之分数”，纪志刚指为“误解”。确实如此，因为经过前面“以半为若干……”的转换，所有分数已化为整数。但纪志刚对“积分”的解释，也同样是误解。他将“积分”以下的句子断为“积分以尽，所求分同之以为法”，认为此“积分”并非《九章算术》“少广”术中的“全步积分”,而是指“广”的各个分数，“积分以尽”指所有的分数皆已约化为整数；“所求分”指通分后的分子(分母已被约掉)。这种解读，不符合文本原意。             

在古代数学、天文书中，还没有看到“积分”可以解释成“各个分数”的例子。“分”是一个基本数量单位的下一级单位，“积”则是累加，“积分”是“分”的总和。就像纪志刚提出的《九章算术》“少广”术中的“全步积分”：             

置所求步数，以全步积分乘之，为实。实如法而一，得从步。           

《九章算术》书影

“全步积分”指由“全步”（一整步）转化而来的所有“分”，相当于《算数书》中的“以一为若干”。两个“积分”虽然内涵不完全一致，但性质相同，都是“步”的向下拆分单位“分”的总和，只不过《算数书》中的“积分”除了一整步化成的分，还要加上各分数步化成的分。             

纪文又认为 “所求分同之”指“通分后的分子相加”,但术中并未给出通分公式，也未提出通分要求，并不存在这样的运算。             

“少广之术”最后一个步骤，都是常规算法：借筹（增加算筹）设置一亩田的步数二百四十步，将与“一步”对应的“若干分”与其相乘，求得240步的“积步”，作为被除数。用积分除积步，每满一个积分，得出纵边（从）一步，不足一步的余数，化成以积分为分母的分数。在这一步骤中，积分与积步形成新分数，因为分母乘过最小公倍数，所以分子也要乘以相同倍数（若干分），才能保证二者相除后得数正确。             

通读一遍，《算数书·少广》术文道理简单，意思显豁。             

除了张家山汉简和放马滩秦简，岳麓书院、北京大学等处所藏出土秦代算书中也有“投”字（岳麓简原释为“救”），若代以“设”字，均文从字顺。             

北大藏秦简《算书》“方田”中有“其投所用三章”一句，旧释未能贯通，现在借机会讨论一下。术文说：             

欲方田述（术），耤（藉）方十六而有余十六，耤（藉）方十五不足十五，即并赢（盈）、不足以为法；而直（置）十五，亦耤（藉）十五令相乘殹（也），即成步；有（又）耤（藉）卅一分十五，令韦（维）乘上十五，有（又）令十五自乘殹（也），十五成一，从韦（维）乘者而卅一成一，乃得从上，即成为田一亩。其投此用三章。             

韩巍先生解释说：“‘投’字作为秦汉《算书》类文献中常用的术语，义为‘求取’、‘求解’。‘其投此用三章’，大概是说求解这种问题要用到‘三章’的方法，究竟是指哪‘三章’，还有待进一步的整理和研究。”（《北大秦简〈算书〉土地面积类算题初识》,《简帛》第八辑,上海古籍出版社，2013年版）             

按细绎文义，此节文字首尾呼应，“欲方田术……其投此用三章”，实为一句话分在两处说，中间列出计算方田的算式，又分三个小算式，各以“即”字结束，就是“即并盈不足以为法”，“即成步”和“即成为田一亩”，它们显然是后文所言“三章”。最后一句，“其”指代“欲方田术”；“投此”乃“设此”，“用三章”即使用三个步骤，通读为“想做方田计算，就设置上述算式使用三个步骤”。这是对首句的呼应，也是对整个算法的总结。此时“三章”已经摆列出来并使用完毕，不需要也无从“求取”“求解”了。             

出土算数书中的“投”可读为“设”，传世文献中也有些许“设”“投”似曾混用的痕迹，如《史记》卷六十九：“苏秦既约六国從亲，归赵，赵肃侯封为武安君，乃设從约书于秦。”司马贞索隐：“乃设從约书，案诸本作投。”《汉书》注卷一百上引应劭：“饵为爵禄，君所以制使其臣，亦犹钓鱼之设饵也。”宋祁补注：“注文设一作投。”             

这些异文不排除是文本传抄中产生的讹误。但出土算数书中的“投”与“设”，从训诂角度看词义相同，从文字角度看均由“殳”组成，可谓形近，那么是否存在一种可能性，即“投”是“设”的一种早期写法 （放马滩简若干“投”字原写作“殳”，其实也可能是“设”的简写）？献疑于此，愿求教于高明。

作者：艾俊川
编辑：刘迪
责任编辑：任思蕴

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